用有理数逼近平方根
尝试用有理数逼近平方根，且这个方法同样适用于比较精确地笔算平方根。
原理：完全平方公式 A=(√A)^2=(x+m)^2=x^2+2mx+m^2
其中A是被开方数，x是我们的估测值，m是误差。
当m很小的时候，可以认为m^2→0，此时m=(A-x^2)/2x
故更加精确的数值x'=x+m=x+(A-x^2)/2x=(A/x+x)/2 即为该方法的原理。
可以证明，在保留一定位数小数的情况下，这种方法获得的数字的稳定值永远大于或等于准确值，但是仍然是相当精确的值。
利用上述公式多次循环可以得到相当准确的值。
这里用Flash AS3写了一个小程序 可以用来模拟该过程
function cu(A:Number,m:String,uu:Number):void{
trace1("R : "+Math.sqrt(A));
var f:Array=m.split("/");
var f1:Number=Number(f[0]);
var f2:Number=Number(f[1]);
var t1:Number,t2:Number;
for(var i:Number=1;i<=uu;i++){
trace1((i<10?"0"+i:i)+": "+f1/f2);
trace1(" ("+f1+"/"+f2+")");
t2=2*f1*f2;
t1=f1*f1+f2*f2*A;
f1=t1;
f2=t2;
}
}
function trace1(s:String):void{
put.appendText(s);
put.appendText("\n");
}
cal.addEventListener("click",function(i:*):void{
put.text="";
cu(Number(q0.text),q1.text,int(q2.text));
});
元件摆放如下
程序运行的结果如下（初始值取3/2）
从而可以知道665857/470832已经是较为精确的值了(12位有效数字)。
以下是一些已经获得的结果（就是使用这个程序获得的）
√2 低精度近似665857/470832(12位有效数字)
高精度近似768398401/543339720 (至少17位有效数字)
≈1.4142135623730951√3低精度近似3650401/2107560(12位有效数字)
高精度近似708158977/408855776 (至少17位有效数字)
≈1.7320508075688772√5低精度近似4870847/2178309(12位有效数字) 51841/23184 (10位有效数字)
高精度近似5374978561/2403763488 (至少15位有效数字)
≈2.23606797749979√7低精度近似62921681/23782160(12位有效数字)
高精度近似2081028097/786554688 (至少17位有效数字)
≈2.6457513110645907√11低精度近似6874607/2072772(11位有效数字) 79201/23880(10位有效数字)
高精度近似12545596801/3782639760 (至少14位有效数字)
≈3.3166247903554
_______________________________splitting_______________________________
以下谈一谈关于这个思路在笔算根号中的运用
1.初始值建议取比较逼近的值，但以简单为宜，如√2取3/2，√3取5/3。
2.保留分数直到第3次计算，第3次计算取6位小数（如上图04）；精度不高的场合只需计算2次取2位小数（如上图03）。
大概就是这些，欢迎交流想法
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